Lösung

Wir betrachten die Schar der Geraden durch (a,f(a)) und fragen nach weiteren Schnittpunkten dieser Geraden in der Nähe des gemeinsamen Punktes. Genauer: Deren anzahl. Die Gerade mit der Steigung der Tangente zeigt dann ein besonderes Verhalten. Sie selbst sollte nur einen Schnittpunkt haben, den festen Punkt. Verändert man die Steigung ein wenig (beliebig wenig) , dann werden es mehr. Falls kein Wendepunkt vorliegt, entsteht in der Regel ein zusätzlicher Schnittpunkt, so dass man insgesamt 2 hat. Liegt ein Wendepunkt vor, erhält man in der Regel zwei neue Schnittpunkte, insgesamt sind das dann drei. Allerdings entweder nur bei Vergrößerung oder nur bei Verkleinerung der Geradensteigung. Nicht bei beidem. Hat die Gerade die richtige Tangentensteigung, dann „verschmelzen“ alle diese Schnittpunkte in dem einen Graphenpunkt (a,f(a)).

Wir illustrieren das am Beispiel der Funktion y=sin(x) und der Tangente bei (0,0). Das Bild zeigt den Graphen von sin sowie eine Reihe von Geraden durch den Ursprung mit unterschiedlicher Steigung. Ist die Steigung kleiner als 1, erhält man drei Schnittpunkte. Ist sie größer als 1, dann nur noch einen. Die Steigung 1, bei der das Verhalten wechselt, liefert die gesuchte Tangente.

Die Verhältnisse werden deutlicher, wenn man die Differenz der beiden Funktionen aufträgt. Die einfachen Nullstellen ergeben dann einen Vorzeichenwechsel. Überdies liegt es nahe, die Vertikalachse stark zu strecken. Das nächste Bild zeigt das Resultat. Der Graph zum m-Wert, der zur Tangente führt, ist hier deutlich zu erkennen.

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