Kommentar

Was leistet das Verfahren in einem Punkt, der kein Wendepunkt ist? Sagen wir y=x² und x₀=1. Dann sind die Geraden y=1+m(x-1) zu betrachten. Für jedes m ungleich 2 hat man zwei Schnittpunkte. Die Differenz hat zwei Nullstellen (und das ist mehr als eine). Für den Tangentenwert m=2 nur eine.

Aber es gibt auch Funktionen, die im abstrakten Sinne differenzierbar sind, für die aber keine unserer beiden Methoden zum Ziele führt. Als Beispiel kann man f(x)=x²sin(1/x) wählen und f(0)=0. Und zwar für x₀=0. Die Tangentenzerlegungsmethode liefert Differenzierbarkeit mit Ableitung 0. D.h. die Tangente ist die x-Achse selbst. Aber es liegt hier weder ein Wendepunkt noch ein Extrempunkt vor. Und die Tangente selbst schneidet den Graphen in jeder noch so kleinen Umgebung unendlich oft. Die zweite Ableitung existiert in diesem Beispiel nicht. (Vgl. 7. Aufgabe zu Kap. 10)

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