Lösung
Das Bild zeigt das Ergebnis des beschriebenen Versuchsprogramms. Beachten Sie die Winzigkeit des gezeigten y-Bereiches. Gezeigt werden die Graphen für a=0.3, a=0.5 (schwarz) sowie a=0.7 (rot) a=0.725, a=0.75 und a=0.9. (blau)
Wie sah der Werdegang bei a=1 und kleinem x aus? Der Sinuswert verkleinerte den Wert zu sinx. Und dies Zahl wurde durch den Tangens wieder vergrößert mit einem Ergebnis oberhalb des Ausgangswertes x. Jetzt schieben wir a dazwischen asin(x) ist dann (a<1) noch kleiner als sinx. Vergrößerung ergibt zunächst wieder ax und dann x. Wir sollten die erste Schranke betrachten, also ax.
Das Bild zeigt bis etwa a=0.7 hat man dieselben Verhältnisse wie bei a=1. D.h. Zunächst siegt der Tangens. Unterhalb von a=0.7 ist das anders. Für x>0 gibt es sofort negative Funktionswerte. Die Verkleinereung durch den Faktor a kann durch den vergrößernden Tangens nicht mehr aufgewogen werden. Man erhält sofort negative Funtionswerte, einen Graphen vom Typ y=-x3.
Wir erwarten für ein a in der Nähe von 0.7 eine besonders gute Approximation von fa(x) durch ax. Das Bild bestätigt dies (a=0.7):
Zur Bestimmung des exakten Wertes:
Sie sollten das in Aufgabe 7 Zu Kapitel 9 beschriebene Verfahren benutzen. Man hat unter Fortlassung höherer Potenzen
Die zweite Zeile liefert die entwicklung für y=asin(x). Das ist in die erste Entwicklung einzusetzen und dann ist nach Potenzen von x zu sortieren. Es genügt alle Potenzen bis (einschließlich) x3 zu bestimmen. Die Koeffizienten hängen von a ab. Das a, für den der Term mit x3 Null wird liefert die Lösung, wie man leicht sieht. Führen Sie dies Programm aus!