Inspektion

Man hat eine interessierende Größe, wir wollen sie mit G bezeichnen, deren Werte reelle Zahlen sind. (Gewicht oder Größe eines Lebewesen, die Intensität eines Lichtstrahles, die Anzahl radioaktiver Atome einer bestimmten Art in einem Behälter, der Gewinn eines Unternehmens usw). Per Idealisierung wollen wir annehmen, dass ein kontinuierlicher Wertebereich (Intervall reeller Zahlen) vorliegt. Die Größe hänge von einem reellen Parameter ab, den wir mit t bezeichnen wollen und diese Abhängigkeit interessiere uns. Also G(t). In den Beispielen ist t die Zeit (Größenwachstum in Abhängigkeit von der Zeit) oder die Eindringtiefe (also die Intensität des Lichtstrahles in der Wassertiefe t) usw.. Dann erzeugt t|-->G(t) im Sinne des Kurses eine glatte reelle Funktion.

Jetzt sollte man unterscheiden zwischen der Größe G(t) selbst und der Änderung der Größe (unter Änderung des Parameters von t nach t+Δt). Diese Änderung bezeichnen wir mit ΔG. Es gilt demnach ΔG=G(t+Δt)-G(t). Diese Änderung interessiert vielfach. Und meist erhält man die Änderung über eine weitere Größe, nämlich die „Änderungsrate“. Beachten Sie, dass die Änderung von Δt abhängt. Die Rate wird eingeführt, um diese Abhängigkeit der Änderung von Δt besser zu codieren. Was ist die Rate? Dabei können und sollten Sie zwischen „mittlerer“ und „momentaner“ Änderungsrate unterscheiden. Versuchen Sie zunächst eine allgemeine Antwort. Die folgenden beiden Beispiele sollten damir behandelbar sein.

Zusätzlich ein Beispiel: Sei G(t)=2e^0.3t. Wähle t=2 und Δt=0.01 sowie 0.05 sowie 0.1. Berechnen Sie die drei Änderungen sowie die drei mittleren Raten.

Im Skript wurde im Zusammenhang mit der Tangentenzerlegung der „abolute Fehler“ F eingeführt. F(x₀,Δx)=ΔxR_f(x₀, Δx). Dann kann auch der Resterm R als Änderungsrate interpretiert werden. Nämlich?

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