Inspektion

Zum Einstieg: Wir denken an Kap.2.4d Figuren. Und das Quadrat ist eine Figur in der Ebene und der Würfel eine Figur im Raum. Wir haben gesagt, dass Figuren durch vektorielle Angabe all ihrer zugehörigen Punkte festgelegt werden. Das ist in Verallgmeinerung der ersten Aufgabe leicht: So besteht unser Quadrat im Koordinatenraum L der ersten Aufgabe aus allen Punkten mit Koordinatenvektoren (x,y) mit -a≤x≤a sowie -a≤y≤a. Die Eckpunkte entstehen, wenn man beide Koordinaten +a oder -a wählt. Das läßt sich leicht auf den dreidimensionalen Würfel verallgemeinern. Und die Verallgemeinerung ist problemlos auf 4 Dimensionen erweiterbar! Der Ursprung des Koordinatensystems L lag im Mittelpunkt des Würfels und die Achsen waren parallel zu den Würfelkanten!

Mit der in Kap.2.4d eingeführten Mengensymbolik sieht das wie folgt aus:

Und nun zur Frage nach der Zahl der Eckpunkte: Im zwei- und im dreidimensionalen Fall sieht man sofort: Man erhält einen Eckpunkt, wenn man alle Koordinaten gleich +a oder -a setzt. Siehe Aufgabe 1. Auf wieviel Weisen ist das möglich? Überlegt man sich das für 2 und drei Dimensionen, so findet man sofort die jeweils korrekte Zahl von Eckpunkten. Man muss das jetzt auf W_4Dim übertragen.

Wann erhält man eine Würfelkante (genauer deren Punkte!) ? Wenn alle Koordinaten bis auf eine gleich +a ode -a sind! Die letzte bleibt frei. In drei Dimensionen gibt es drei Möglichkeiten, die freie Koordinate zu wählen. Für die verbleibenden beiden Koordinaten hat man dann je zwei Wahlmöglichkeiten, insgesamt 4. Und 3x4=12 ist tatsächlich die Zahl der Kanten. Bei Bedarf sollte man sich dies mit einer Skizze verdeutlichen.

Wir geben diese Skizze! (Das Koordinatensystem L ist unangenehm zu zeichnen.) In der Skizze sind zwei Eckpunkte und eine Kante mit eingezeichnet. Denken sie daran, dass etwa (-a,x,a) einen achsenparallelen Weg beschreibt!

Damit wird die Aufgabe zu einem einfachen Auszählungsproblem.

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