Lösung
Man erhält folgendes Substitutionsschema:
Die zweite Gleichung aus (1) folgt sofort aus der ersten, sofern man x wie angegeben einschränkt. Die beiden anderen Gleichungen werden unten hergeleitet. (2) und (3) wieder folgen sofort aus den ersten beiden Gleichungen von (1).
Was zeigt die Inspektion der Resultate? Alle angegebenen Ausdrücke sind rational in u. D.h. hat man als Integranden eine rationale Funktion von sinx und cosx, dann wird daraus durch die angegebene Substitution eine rationale Funktion in u und für die liefert die Partialbruchmethode eine Stammfunkzion. D.h. für alle derartigen Integrale kann man eine elementare Stammfunktion angeben!
Jetzt zur Herleitung der der beiden Gleichungen aus(1):
Hier treten Wurzeln auf. D.h. i.a. wird man mit Hilfe der Substitution u=tanx keine rationale Funktion erhalten! Für Ñ=x/2 und m=u folgt das gesuchte Zwischenresultat:
Mit Hilfe der aus dem Additionstheoremen folgenden Verdopplungsformeln erhalten wir
Hier sind alle Wurzeln verschwunden! Und die Rechnung zeigt, wie das zustande kommt.
Schließlich: Was macht die Substitution aus dem gegebenen Integral?
Das ist im Prinzip berechenbar. Aber die Nullstellen des Nenners sind natürlich hart!