Lösung

Folgende Umformung liegt nahe:

q=b/a.

D.h., es genügt, die folgende einparametrige Schar zu betrachten

Wegen x=a(v-q)=av-b erhält man die ursprünglichen Funktionen durch eine Verschiebung in x-Richtung und anschließende Umskalierung der x-Achse. Ein erster Soderfall ist q²=1. Man hat g₁(v)=1-2/v bzw. g_-1(v)=1+2/v. Also jeweils eine leicht transformierte Hyperbel. Ansonsten zeigt Inspektion: Ein (doppelter) Pol bei v=0 und je eine einfache Nullstelle bei v₊ und v_-. Für q²<1 liegt der Pol zwischen den beiden Nullstellen. Für q>1 sind beide Nullstellen positiv. Und für q<-1 beide negativ. Den letzten Fall führt man durch Spiegelung an der y-Achse auf den Fall q>1 zurück. Also sind nur noch zwei Fälle zu diskutieren.

Der Rechenausdruck liefert dann sofort für den Pol, die beiden Nullstellen und für große |v|-Werte Dominanzausdrücke. Zunächst der Fall q>1. Die Figur zeigt q=2.

Und nun der Fall |q|<1. Die Figur ist für q=1/2.

Man sieht: Für q² ungleich 1 ist genau ein Extremwert und ein Wendepunkt zu erwarten. Diese lassen sich leicht bestimmen zu

Für q=1 und q=-1 sehen die Graphen qualitativ ziemlich anders aus. Was geschieht also, wenn man sich beispielsweise von q>1 aus dem Wert q=1 nähert mit g₁(v)=1-2/v ? Insbesondere muss der Doppelpol in den Einfachpol übergehen.

Oder auch: Wie kann aus dem ersten Graphen dieser letzte werden?

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