Lösung

Erneut entsprichr der Graph den Vorerwartungen. Wieso liegt das Minimum so tief? Der Korrekturfaktor zum Polbeitrag 1/(x-1) ist bei x=2 bereits (-2e²/3), also etwa -5. Wir haben y=-5/(x-1) noch dünn blau mit eingezeichnet. Das Wachstum der Exponetialfunktion bewirkt dann das Umbiegen zum Extremwert.

Jetzt die Ableitungen:

Die gesuchte Nullstelle ist die Nullstelle des Poilynoms p(x)=-x³+x²+x+1. Wir haben p(2)=-1 und p´(2)=-7. Das gibt als Tangentengleichung y=-1+(-7)(x-2)=13-7x mit einer Nullstelle bei x_0App=13/7=1.857... Der exakte Wert ist x₀=1.839.... Die Näherung ist also bereits recht gut.

Jetzt die zweite Ableitung.

Die Nullstelle des Polynoms liefert die Lage des Wendpunktes. Numerisch findet man diese Nullstelle bei x_W=-0.284.

Inspektion des Graphen läßt bei -2 und bei +2 sehr flache Tangenten erwarten, d.h. der Schnittpunkt sollte etwas von Null entfernt sein. Zunächst die gleichungen der beiden Tangenten:

Gleichsetzen liefert die zu bestimmenden Koordinaten des Schnittpunktes:

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