Lösung

Nein, das sind verschiedene Dinge, die zumindest begrifflich unterschieden werden sollten! Folgende Ausführungen zeigen das, ohne dass wir die zugehörigen Begriffe (wie Term) selbst völlig präzisieren. Bei der "Umformung eines Termes oder Rechenausdrucks" wird aus einem gegebenen Term T eine neuer Term S gemacht, so dass T=S gilt. So wird der Term (a+2b)² mit Hilfe der Distributivgesetze in den Term a²+4ab+4b² umgewandelt, für den jedoch (a+2b)²=a²+4ab+4b² gilt.
Gleichungsumformung: Eine Gleichung hat die Form L=S, wobei L und S Terme sind. Nehmen wir die Bestimmungsgleichung 4x²+2x-3= 1. Diese formt man um in eine andere Gleichung 2x²+x=2 mit genau denselben Lösungen. Die Terme dieser neuen Gleichung sind aber keineswegs Termumformungen der Terme der alten. So gilt sicher nicht 4x²+2x-3=2x²+x. Aber eine Termumformung eines der Terme der Gleichung führt zu einer Gleichungsumformung. So ist 2x²+x=x(x+2) was zu der weiteren Gleichungsumformung x(x+2)=2 führt. Generell entsteht bei einer Gleichungsumformung eine neue Gleichung, die mindestens die Lösungen der alten Gleichung hat. Hat sie genau dieselben Lösungen, spricht man von einer Äquivalenzumformung der Bestimmungsgleichung.

"A=B wird mit C multipliziert" soll immer heißen: Die beiden Terme A und B werden jeweils mit C multipliziert. Das ergibt eine Gleichungsumformung, nämlich die neue Gleichung AC=BC. Anschließend werden die neuen Term AC und BC u.U. weiter umgeformt, etwa mit Hilfe der Distributivgesetze. Etwa: 2a-2=5+b soll mit (a+b) multipliziert werden. Das gibt (2a-2)(a+b)=(5+b)(a+b). Beide Terme können mit Hilfe der Distributivgesetze weiter verarbeitet werden und ergeben die neue Gleichung 2a²+2ba-2a-2b=5a+5b+ba+b².

Hat C Nullstellen, dann ist der Übergang von A=B nach AC=BC u.U. keine Äquivalenzumformung, da weitere Lösungen hinzukommen können.

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