Lösung

Worum geht es? Vorgegeben sind zwei geeignete Funktionen f und g durch Rechenausdrücke f(x) und g(x). Dies Funktionen werden auf zwei Weisen weiterverarbeitet: Auf der linken Seite wird zuerst das Produkt fg mit fg(x)=f(x)g(x) gebildet. Dann wird davon die n-te Ableitung gebildet. (fg)(n)(x) ist eine Bezeichnung dieser Größe. Als Beispiel können Sie sich etwa f(x)=ex und g(x)=sin(x) vorstellen. Rechenweg: Erst Produkt, dann Ableitungen. Auf der rechten Seite werden zuerst die Ableitungen von f und g gebildet. Man nimmt die k-te Ableitung von f und die (n-k)-te von g und bildet deren Produkt. Dieses wird mit dem zugehörigen Binomialkoeffizienten multipliziert und zuletzt wird über alle k (von 0 bis n) summiert. Das gibt die rechte Seite!

„Geeignete Funktionen“ heißt hier „ mindestens n-mal im Punkte x-differenzierbar“!

Es wird behauptet, dass beide Seiten für alle n dasselbe ergeben! Und das ist mit vollständiger Induktion zu beweisen.

  1. Für n=1 liegt die als gültig vorausgesetzte Produktregel vor.

  2. Sei die Formel bereits bis n=N bewiesen. Also für n=1,2,...,N.

  3. Idee. Dann gilt F(N+1)(x)=(F(N))´(x)=(F(N))(1). Oder: die (N+1)-Ableitung ist die Ableitung der N-ten.

  4. Jetzt können wir den Beweis führen. Wir rechnen wie folgt:



Im ersten Schritt benutzen wir die vorausgesetzte Gültigkeit der Formel für n=N. Dann in (2) die Linearität der (ersten) Ableitung. In (3) wird die übliche Produktregel benutzt und danach die Summe aufgeteilt. Im ersten Summenzeichen wird r=k-1 als neuer Summationsindex eingeführt. Der Summand für r=0 darf zugefügt werden, da der zugehörige Binomialkoeffizient den Wert 0 hat. Dasselbe gilt für den Beitrag zu k=N+1 beim zweiten Summenzeichen. Ausklammern und Benutzen der (in der vorigen Übung bewiesenen) Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten liefert die behauptete Ableitungsformel für n=N+1.

Beispiel:



Zurück