Kommentar

Eine ausformulierte Endform dieses Beweises wird viel kürzer aussehen, sollte aber auf den beschriebenen Vorarbeiten basieren. Viele von diesen wird man nicht schriftlich machen, sondern im Kopf. Sie können u.U. zeitaufwendiger als der eigentliche Beweis sein.

So eine Ausformulierung könnte wie folgt aussehen:

Beweis: Für N=1 erhält man die Produktregel der Ableitung. Sei die Formel bereits für n=N bewiesen. Erneutes Ableiten beider Seiten der Formel ist möglich, da nie mehe als N+1 mal differenziert wird. Man erhält:

Führt man in der ersten Summe wird r=k+1 als Summationsindex ein kann man daraus eine einzige Summe von k=0 bis N+1 machen, da die störenden Beiträge zu Binomialkoeffizienten mit Wert 0 gehören:

Die Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten liefert jetzt die Gültigkeit der behaupteten Gleichung für n=N+1.

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