Inspektion

Die Aufgabe verlangt einige Vorkenntnisse aus dem schulischen Bereich. Zunächst den in Kap.1.3 des Vorkurses behandelten Binomialsatz. Sodann die Schreibweise f⁽¹⁾(x) für die erste Ableitung von f(x). Für k=0 erhält man f⁽⁰⁾(x) und das steht für die Funktion f(x) selbst.Ebenso f⁽²⁾(x) für die zweite Ableitung. Für n=1 ergibt sich die „Produktregel der Ableitung“. Dabei benutzen wir die in Kap.7 des Vorkurses eingeführte Schreibweise für die Ableitung eines Produktes an der Stelle x. Also (fg)´(x) anstelle (f(x)g(x))´ wie vielfach üblich. In der Exponentialschreibweise (fg)⁽¹⁾(x).

Wieder zerfällt die Aufgabe in mehrere Teilaufgaben. Dabei ist die erste „erläutern und verstehen“ für uns hier von besonderer Bedeutung. Man hat sich zu fragen: Was ist (zur Konstruktion der beiden Rechenausdrücke) vorgegeben und was wird damit gemacht? Zu jeder Seite der Gleichung gehört ein bestimmter Rechenweg. Worum geht es? Um das zu verstehen, kann man den dritten Aufgabenteil vorziehen und die Formel etwa für die einfachen Fälle n=1,2 und 3 ausschreiben. Nun sieht man sofort, dass die Formel allgemein eine Ableitungsregel angibt, die natürlich zu beweisen ist. Bezeichnen würde man sie als „Produktregel für die n-te Ableitung“. Die übliche Produktregel für die erste Ableitung darf man (modular) als bekannt voraussetzen

Die drei Fälle:

Für n=1 ist das die übliche Produktregel. Gelten die beiden anderen Gleichungen? Differenzieren der ersten als bereits bewiesen vorausgestzten ergibt die zweite. Erneutes Differenzieren die dritte. Das liefert bereits die Einstiegsidee für den geforderten allgemeinen Beweis.

Nach einer derartigen Vorarbeit kann man sich an den eigentlichen Beweis machen.

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