Kommentar

Zunächst wird man die Rechnung meist ohne die Einschränkung für k ausführen. An der mit (*) markierten Stelle wird sie dann für k=0 wegen (-1)! problematisch. Statt die Rechnung für k=0 zu verallgemeinern, schaut man sich die problematischen Fälle gesondert an und sieht, dass für sie die Gültigkeit weitgehend trivial ist. Dabei geht natürlich die definitorische Festlegung [n]₀=1 ein. Damit darf man vorab k so einschränken, dass die Rechnung durchläuft.

Zum Beweis der Formel für N+1 wird hier nur der unmittelbare Vorgänger – also die Formel für N – benutzt. Die übrigen vorausgesetzten Formeln (für n=0,1,,,,,N-1) werden nicht benötigt. Das ist bei Induktionsbeweisen häufiger der Fall.

Beachten Sie bitte: Mit Ausformulierung aller trivialen Teile (wie unter Inspektion geschehen) wird der Beweis recht lang. Ohne diese wird es viel besser. Die trivialen Teile sollte man sich bewußt machen, bei der Textformulierung aber nur kurz andeuten.

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