Lösung

Die folgende Rechnung beweist die in a) behauptete Gleichung. Benutzt wird dabei: Korrektes Einsetzen und die Potenzrechenregeln sowie der dritte Binomi:

Zu b)

Die Gültigkeit dieser Gleichung läßt sich natürlich auch durch distributives Ausmultiplizieren überprüfen. Aber bereits für n=10 gibt das zunächst 100 Summanden auf der linken Seite. Über a) haben wir die Gültigkeit derartiger Gleichungen für alle geraden n bewiesen.

Und nun zu c). Durch distributives Ausmultiplizieren findet man für G_2k+1(x)G_2k+1(-x) für die ersten Fälle:

Damit ist es leicht, eine Vermutung für den allgemeinen Fall aufzustellen! Nämlich

Wir wollen jetzt nicht versuchen, diese Gleichung direkt (etwa über vollständige Induktion) zu beweisen, sondern wollen versuchen, die Rechnung zu a) auf den neuen Fall auszudehnen, wobei wir aber bei der Rechnung darauf hinzielen, eine Gleichung des vermuteten Typs zu erhalten. Das geht tatsächlich, wie die folgende Rechnung zeigt:

Damit ist die vermutete Gleichung gefunden und bewiesen. In beiden Fällen erhält man für die rechte Seite eine Funktion von x². Das ist plausibel, da die linke Seite eine eine in x gerade Funktion ist.

Kann man das Resultat aus a) in eine analoge Form bringen? Diese Anschlussfrage liegt nahe. Versuchen Sie es.

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